Barisan dan Deret Aritmetika

BARISAN ARITMETIKA

A.   Barisan Aritmetika

Perhatikan barisan-barisan bilangan berikut ini :

                                i.            2,8,14,20, ....

                              ii.            3,5,7,9, ....

                            iii.            25,20,15,10, ....

Barisan di atas merupakan contoh barisan aritmetika, secara umum dapat dikatakan bahwa :

U₁,U₂,U₃,U₄, ... , U_n disebut barisan aritmetika jika U₂ – U₁ =  U₃ – U₂ = U_n – U_n-1 = konstanta.

Konstanta dalam hal ini disebut dengan beda (b)

Barisan aritmetika ialah  suatu  barisan  bilangan-bilangan dimana beda (selisih) di antara dua suku berurutan merupakan bilangan tetap

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b dapat diturunkan seperti berikut :

U₁ = a

U₂ = a + b

U₃ = a + 2b

U₄ = a + 3b

U₅ = a + 4b

.        .      .

.        .      .

.        .      .

U_n = a + (n – 1)b

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah

U_n = a + (n – 1)b di mana: a  adalah suku pertama dan b adalah beda

1.      Sisipan

Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmetika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmetika yang baru, maka proses ini disebut menyisipkan atau interpolasi. Misalkan, diantara dua suku (dua bilangan) U₁ an U₂ disisipkan k bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika, maka :

            Barisan pertama: U₁,U₂ dimana beda b = U₂ – U₁

                Apabila bedabarisan aritmetika yang baru dimisalkan b’, maka barisan aritmetika baru ialah :

            U_{1 ,}  (U_{1 +} b’) , (U_{1 +}2b’), . . . , (U_{1 +} kb’), U₂

Dimana U_{1 ,}  (U_{1 +} b’) , b’ = U₂

                =  U_{1 +} (k + 1)b’ = U₂

            = b’ =  atau b’ =

2.      Suku tengah

Apabila banyak suku suatu barisan aritmetika ganjil, maka terdapat sebuah suku tengah yang di sebut U_t,

            a, ..., U_t, ..., U_n,                 untuk n ganjil

maka: 2U_t  =  a + U_n atau U_t  =  ( a + U_n)

Misalkan: 15,9,13,17,            n = 5 dan suku tengah  U_t

                     U_t  =  (1+17) = 9

Setiap suku barisan aritmetika sama dengan setengah jumlah kedua suku tetangganya.

           

            U_k – b, U_k, U_k + b

                U_{k =}  U_k – b ) +  U_k – b )}