Analisa real

2.2 SIFAT URUTAN R

Dalam bagian ini kita akan memperkenalkan sifat urutan R. ini memerlukan pengertian positif dan ketidaksetaraan. seperti struktur aljabar dari sistem bilangan real. kami mendahului dengan mengisolasi beberapa properti urutan dasar dari mana sifat-sifat lainnya dalam mengikuti. cara paling sederhana untuk melakukan ini adalah dengan memanfaatkan gagasan positif.

2.2.1Sifat Urutan pada bagian yang tidak kosong P atau R. disebut himpunan bilangan real positif ketat. yang memenuhi sifat berikut :

(i) jika a, b ​​milik P, maka a + b milik P

(ii) jika a, b ​​milik P, maka ab milik P

(iii) jika milik R, maka tepat satu dari berikut berlaku.

a ϵ P, a=0, -a ϵ P.

          Pertama dua sifat menjamin kompatibilitas order dengan operasi penjumlahan dan perkalian. masing-masing. Kondisi (iii) disebut trikotomi properti karena membagi R menjadi tiga jenis yang berbeda dari unsur-unsur. Ini menyatakan bahwa himpunan {-a: a ϵ P} dari bilangan real ketat negatif tidak memiliki unsur yang sama dengan P, dan, tambahan lagi. set R adalah gabungan dari tiga himpunan gabungan.

2.2.2 jika dalam P, kita mengatakan bahwa jumlah dan ketat positif yang nyata menulis a > 0. jika adalah baik dalam P atau 0. kita mengatakan bahwa a adalah bilangan real positif dan menulis a ≥ 0. jika-berada dalam P, kita mengatakan bahwa adalah bilangan real negatif ketat dan menulis a < 0. jika-adalah baik di P atau 0. kita katakan bahwa adalah bilangan real negatif dan ditulis a ≤ 0.

Keterangan. perlu dicatat bahwa, menurut terminologi saja diperkenalkan, jumlah 0 adalah baik positif dan negatif itu adalah satu-satunya nomor ganda dengan status ini. terminologi ini tidak sepenuhnya standar. tetapi akan terbukti menjadi kenyamanan. beberapa penulis cadangan istilah "positif" untuk elemen-elemen dari himpunan P dan menggunakan istilah "non-negatif" untuk unsur P ᴗ {0}.

Sekarang kita dapat memperkenalkan gagasan ketimpangan antara unsur R dalam jangka waktu P set elemen positif.

2.2.3 Definisi. Biarkan a, b ​​menjadi elemen R.

(i) jika - b ϵ P, kita menulis a > b atau b < a.

(ii) jika a - b ϵ P ᴗ {0}. maka kita menulis ≥ b atau b ≤ a.

untuk kenyamanan notasi, kita akan menulis :

a < b < c

berarti bahwa kedua

a < b dan b < c

puas. sama. Jika a  ≤ b dan b ≤ c. kita akan menulis a ≤ b ≤ c. juga, jika a ≤ b dan b < d, kita akan menulis a ≤ b < d.

Sifat Urutan

Sekarang kita harus menetapkan beberapa sifat dasar hubungan order pada R. ini akrab "aturan ketidaksetaraan" bahwa pembaca telah digunakan dalam mata pelajaran matematika sebelumnya. mereka akan sering digunakan dalam bagian berikutnya.

2.2.4 Teorema. biarkan a, b​​, c menjadi elemen R.

(a) jika a ϵ b dan b > c. Maka a > c.

(b) Tepat satu menjadi berikut berlaku: a> b, a = b, a <b.

(c) jika a ≥ b dan b ≥ a. maka a = b.

Bukti :

a)      Jika a - b ϵ P dan b - c ϵ P, kemudian 2.2.1 (i) menunjukkan bahwa (a - b) + (b - c) = a - c milik P. maka, a > c.

b)      Dengan thrictomy properti 2.2.1 (iii), tepat satu kemungkinan berikut terjadi:

 a - b ϵ P, a - b = 0, - (a - b) = b - a ϵ P.

c)       jika a ≠ b, maka a - b ≠ 0. sehingga dari bagian (b) kita memiliki sebuah a - b ϵ P atau b - a, yaitu. Baik a > b atau b > a. dalam kedua kasus, salah satu hipotesis bertentangan. oleh karena itu kita harus memiliki a = b.

Itu adalah wajar untuk mengharapkan bahwa bilangan asli secara ketat positif. kita menunjukkan bagaimana selanjutnya positif ini berasal dari sifat dasar yang diberikan dalam 2.2.1. pengamatan utama adalah bahwa kuadrat dari setiap bilangan real bukan nol adalah sangat positif.